Y: Hey, I read somewhere that mathematicians can turn a sphere inside out.
Y: ねぇ! 数学者から聞いたんだけど、球を裏返せるって本当？

X: Yes, that’s true.
X:そうよ　本当にそうよ

Y: What’s the big deal? Just poke a hole in it and pull it through.
Y:それっとすごいことじゃね？ こんな風に穴でもあけるの？

X: Sure, but the point is to do it without making a hole.
X:穴をあけなくても出来るわ

Y: But then it seems impossible!
Y:そんなの不可能だよ！

X: You’re right, you cannot do it with an ordinary sphere like a basketball. You have to understand the rules of the game: this sphere is made of an abstract elastic material that can stretch and bend and pass through itself.
X:普通の球じゃないのよ　バスケットボールみたいなね。ゲームのルールを理解する必要があるようね:
この球は抽象的な柔軟性のある素材で出来てるの、捻ったり、延ばしたり、お互いをすり抜けたりできる素材。

But you cannot rip or puncture this material without destroying it, and you cannot crease it or bend it sharply.
でも穴を開けたり引き裂いたりすると壊れてしまう。それに折り目を付けて尖ったところを作ってはだめ

Y: If the surface can pass through itself, what’s the problem?
Y:もし面がお互いすり抜けられるんなら何が問題なの？

X: Do you think allowing self-intersections makes it easy? Try it.
X:自己交差させれば簡単だと思う？　やってみて。

Y: I’ll push the two halves right through each other.
Y:半分にしたのを互いに交差させるよ

X: Be careful. What about that ring around the equator? Remember, you mustn’t tear or crease it.
X:気をつけて。赤道上の輪っかをどうするの？　折り目を付けてはいけないのを思い出して。

Y: Argh—-let me try again.
Y:うーん、もう一回やってみるよ

X: That’s no good either—-you’re pinching it infinitely tight.
X:良くないわね　きつく曲げすぎだわ

Y: But then there’s no way! It’s impossible! You have to crease or pinch it to turn it inside out.
Y:これじゃ出来ないよ！　これは不可能だって！　ひっくり返すには ぐちゃぐちゃにするかひん曲げないと

X: It is surprising. But watch this:
X:驚くかもしれないけど、これを見て：

Y: ... Is this it? Is this a sphere turning inside out?
Y: ... なにこれ？ これで球を裏返せたの？

X: You bet!
X: もちろん！

X: That wasn’t easy to follow, was it? To figure out what’s going on, let’s look at something simpler: a circle.
X: でも簡単には理解できないわよね？ 何が起こっているか理解するために、単純なものから見ていきましょう:まず円からよ

X: We’ll build a vertical wall along the circle so that we can color the two sides differently. Can you gradually turn this circle into this other circle, where the purple and gold sides are reversed, without creating sharp corners?
X: 円周上に垂直な壁を作れば、2色に色分けできるわ。この円を、鋭角を作らずに紫と金色がひっくり返った円に転置できる？

Y: Of course! I can turn a rubber band inside out.
Y: できるさ！　輪ゴムをひっくり返すようにね。

X: Remember, we’re really trying to turn the circle inside out. We only built the wall so we could see the different sides.
X: 忘れないで 円をひっくり返そうとしているのよ。壁は内と外を見分けやすくするため立てただけよ。

Y: Oh, yes, the wall has to stay vertical. And it can’t have creases, but it can pass through itself. Fine, let me try.
Y: そうそう　壁だから垂直に立ってないとね。折り目は付けられないが、交差は出来そうだ。よし、やってみよう。

X: Watch out! That was a sharp bend!
X: 気をつけて！　端をきつく曲げすぎだわ！

X: If we could make sharp bends in the material, we’d be able to turn any curve into any other, by moving each point of the initial curve in a straight line toward a target point in the final curve.
X: この素材で鋭角が作れるなら、どんな風にだって曲げることが出来るでしょ、左側の点を動かせば　右側の目的の点に動かせるように。

Y: But I can avoid corners altogether by making a loop smaller and smaller…
Y: じゃぁ、小さな小さなループを作れば何とかなるんじゃ･･･

X: That’s an interesting idea, but pulling a loop tight is not really a gradual change. It’s like having a corner in disguise, so it’s against the rules.
X: 面白い考えね、でも締めるループは実際は段階的に変化しないわ。鋭角がないのと見せかけでは似てるけど、それはルールに反するわ。

Y: Well, if you can’t have corners and you can’t pull loops tight, I think it’s impossible to turn the circle inside out!
Y: もし折り目や小さな輪が無理なら、ひっくり返すのは不可能だよ！

X: Yes! You’re right.
X: その通り！　正解よ

Y: Wait a minute. Am I supposed to believe that you can turn a sphere inside out, but not a circle?
Y: ちょ、球は裏返せるけど、円は無理だなんて信じろとでも？

X: Yes! There is something fundamental about curves that would have to change if you were to turn a circle inside out—-and that something cannot change under our allowed motions.
X: そうよ　変化させたいカーブについて基本的なことがあるの−−許可された動きだけでは変えられないものがあるのよ

Y: And what’s that?
Y: それは何？

X: I’ll explain. Imagine a monorail atop the wall. Now the rule about monorail traffic is that the car only travels forward, and it always keeps the purple wall on its right.
X: これから説明するわね。架空のモノレールが壁の上にあるとするわ、モノレールは紫の壁が右にくるようにして、前にのみ動くの。

We’ll use a diagram to monitor the car’s direction. On this track, the car is always turning left. As it goes around the circle once, it makes one full turn toward the left.
モノレールの方向を示す図を使うわね。このコースではモノレールはいつも左回りね。円の一周するのに合わせて、図の方向も左に一周する。

On a more complicated track, the car might sometimes be turning left and sometimes right, but the net amount of turning after one complete circuit is always some number of full turns in one direction or the other. The number of full turns it makes toward the left is called the curve’s turning number.
もっと複雑なコースでは右回りだったり左回りだったりするわ、でもコースを回った後の正味の回転は整数になるの。その回転数を、カーブの回転数と呼ぶの。

For a curve where there is more turning toward the right than toward the left, the turning number is negative.
左よりも右のターンが多ければ回転数は負の数になるの。

Y: Hey, and if there is no net turning, the turning number is zero!
Y: じゃあ正味の回転がなければ回転数は0だね！

X: Right.
X: 正解。

Y: I had a hard time following the net turning for this winding track.
Y: 曲がりくねったに合わせて正味の回転を追うのは大変だったよ。

X: That’s natural. But there’s another way to get the right answer: find the spots where you’re traveling in a particular direction, like due east.
X: それが普通よ。でも他の方法もあるわ：決まった方向に進む場所を見つけるの　例えば東とか。

Y: Let’s see, since we’re looking from the south, that would be wherever the monorail is going toward our right—-where we see the purple wall face on.
Y: 僕らは南から見ているから モノレールが右を向くところだね−−−つまり紫の壁が正面を向いているところだ。

X: Exactly. At some of these points the track is curving away from us. Viewed from here, it looks like a smile; at these places, the car would be turning left. At others the track looks like a frown, curving toward us; at these points the car would be turning right. The net number of full turns increases when the car passes a smile, and decreases when it passes a frown.
X: その通り！　そのうち数カ所は私たちから見て遠ざかるように曲がっているわね。こっちから見るとスマイルみたい;そこでモノレールは左に曲がるわね。近づくように曲がっているフキゲン(´･ω･`)のところではモノレールは右に曲がるわ。スマイルを通ると正味の回転は１増えて、フキゲンのところでは１減るとすると。

Starting at zero… one… two… three… four… three… two… and we finish with three. The turning number is the number of smiles minus the number of frowns.
０から始めて… 1… 2… 3… 4… 3… 2… 最後は3になるわ。回転数ってスマイルの数引くフキゲンの数なの。

Y: I see… the turning number measures happiness!
Y: なるほど…　回転数は幸せの数なんだね！

X: If you insist…
X: 好きになさい…ｗ

X: Now the nice thing about the turning number is that it remains the same when a curve changes according to our rules. Frowns and smiles can appear or disappear, but only in pairs that balance out. The number of smiles minus the number of frowns never changes.
X: で、その回転数の利点は、ルールに従ってカーブを変形させても回転数は変わらないってことなの。スマイルとフキゲンのペアが打ち消し合うようにしか現れたり消えたりしないから。スマイル引くフキゲンの数は変わらないってわけ。

Y: So a curve can only turn into another curve with the same turning number?
Y: つまり同じ回転数のカーブ同士でないと互いに変われないんだ？

X: Right: the turning number is the fundamental property I mentioned before. Now what’s the turning number for the two circles?
X: そう！　回転数がさっき言った基本的なことなのよ。じゃあ、さっきの二つの円の回転数は？

Y: Hmm… This one has one smile and no frowns, so the turning number is one. And if the gold is outside – one frown and no smiles – minus one! It makes sense – on one curve you’re turning left all the time, on the other it’s the opposite.
Y: えーと、片方の円は１スマイルで０フキゲンだから、回転数は1。もう一方は１フキゲンで０スマイルだから、−１だ！　なるほど カーブを常に左回りしようとするともう片方は逆になっちゃうんだ。

X: Good. So the reason you cannot turn a circle inside out…
X: グッド。だから円を裏返せない理由は・・・

Y: ... is that what would change the turning number!
Y:・・・回転数が変わっちゃうからだ！

Y: But wait—-doesn’t the same argument prove you can’t turn a sphere inside out? This sphere has a three-dimensional smile, and this one has a three-dimensional frown. So they have different turning numbers!
Y: でも待った、これは球が裏返せないってこととどう違うの？ この球は３次元スマイルと３次元フキゲンがあって、だから回転数が違うじゃん！

X: Not quite. Your analogy is good, but to make it complete, we must look at a general surface and consider all the points where it is horizontal and gold is on top.
X: ちょっと違うわね　その推測はいいけど完全ではないわ。もっと一般的な形で、金色の上にあるすべての水平な点について考えなきゃ。

We’ll draw horizontal stripes to make these points easier to locate. Smiles are like bowls, curving up; frowns are like domes, curving down. But there are other points where the surface is horizontal that are neither bowls nor domes.
そのポイントが分かりやすいように水平のストライプを描くわね。スマイルはボウル上に凹んでて、フキゲンはドーム上に凸ね。でも他に水平なところはボウル状でもドーム状でもないわ。

They are saddles, and look like smiles from one direction and frowns from another. Near a bowl or a dome, the horizontal stripes form rings. Near a saddle, they form an X.
サドル状になってて一方から見るとスマイル、他方から見るとフキゲンなの。ボウルやドームの近くではストライプはリング状になっていて、サドルの近くでは X みたいでしょ

Y: But how does that change anything? Spheres don’t have saddles!
Y: それがどう変わるんだい？　球はサドルを持っていないじゃないか！

X: Ah, but the point is how these features interact. Look: a dome and a saddle can come together and cancel out. Likewise, a bowl and a saddle can cancel out. But bowls and domes, like electrical charges of the same sign, normally don’t get near each other.
X: ポイントはその特徴がどう影響し合うかなの。見て、ドームとサドルがくっ付いて打ち消しあったわ。同様にボウルとサドルも打ち消し合ったわ。でもボウルとドームは同符号の電荷みたいに互いに近寄らないの。

X: The unchanging number for surfaces, then, is this: add domes and bowls, and subtract saddles. This number is 1 for the sphere no matter which face is out!
X: で、表面の不変数はドームとボウルの数を足して、そこからサドルの数を引く。球のどちら側が表でも 球のこの値は１なの


X: Let’s go back to curves for a bit. Remember that this circle can only be changed into curves of turning number 1?
X: ちょっとカーブの話しに戻るわ。この円は回転数が１のカーブにしか変形できないのを覚えてる？

Y: Still not allowing sharp corners, right?
Y: ここでも角を作ったら駄目なんでしょ？

X: Of course. Now can the circle be turned into any curve of turning number 1, say this one?
X: その通り。円は回転数が１のカーブならどんなカーブにもなれるわ。これはどう？

Y: Let’s see: I’ll try to go backwards from this curve to the circle… I think I got it. There.
Y: えっと、このカーブを円に戻してみるよ・・・ 出来たよ　ほら

X: Excellent. Now try this one.
X: すごい！　じゃあこれは？

Y: I’ll undo this loop first… and push this fold back… Now here… Here we go.
Y: ここの輪からやってみよう・・・ ほら出来た！

X: Very good! And this one?
X: すばらしい！　これは？

Y: Whoa! You’re not going to ask me to do every single curve of turning number one, are you?
Y: わぉ・・・、回転数が１のカーブを全部やらせるおつもりで？

X: Of course not. What we need is a general method. Do you remember the simple way to transform one curve to another when sharp bends are allowed?
X: まさか。一般的にはどうすれば良いかしら？ 折り目を許した場合のカーブからカーブへの変換方法を覚えている？

Y: Yes. You just go straight from one to the other.
Y: ああ 単純に一方からもう一方へ変えれば良いんでしょ

X: That’s the one. When the curves have the same turning number, this method can be adapted to work without sharp bends. The trick is to add waves to the curve.
X: それよ。この方法は角を作らなくても上手く使うことが出来るの。カーブが同じ回転数のとき、タネはカーブに波を加えること。

Y: Can we do it on a simpler one?
Y: もっと単純な形でやりません？

X: Sure. We start by marking small pieces of the curve that will serve as guides for the transformation. We’ll concentrate on these segments now. We move the centers of the guide segments straight toward their final destinations on the circle, without any rotation. Next, we rotate the guides so that they are lined up with the circle.
X: 良いわ　まず変化のガイドとしてカーブの小さなピースに印をつけるわね。今度はこのピースに集中して。ピースの中央をまっすぐ目的の円の場所へ 回転させずにもってくるの。次に、ガイドを回転させて円上に並べる

Y: OK, what about the parts in between?
Y: OK　間のパーツはどうするの？

X: That’s where the waviness comes in. We make the connecting segments between adjacent guides bulge out into corrugations. This allows the segments to move freely around each other, as long as they remain more or less parallel.
X: ここに波を入れるの。隣り合ったガイドがうねりの中に出入りできるように接続部を作る。これでガイドはだいたい平行である限り 互いに自由に移動できるわ。

Y: Oh, I see—-the guides can move around without creating sharp bends.
Y: なるほど ガイドが角を作らなくても動き回れるのか

X: Correct. Here is the transformation of the whole curve.
X: そう。カーブ全体の変形を見てみましょう

Y: The original curve, in blue, develops sharp corners, but the wavy curve is springy enough to remain smooth throughout.
Y: 青のオリジナルのカーブは角を作っているけど、波の方は弾力があるから最後まで滑らかなままなんだ

X: We have to keep adjacent guides roughly parallel as we rotate them to align with the circle. This is possible as long as the turning number of the original curve is one.
X: ガイドはだいたい平行に保つ必要があるわ。隣り合ったガイドを円上に並ばせるために、これは元のカーブの回転数が１のときに限り可能なのよ

Y: Why can’t we align the guides if the turning number isn’t one?
Y: 回転数が１じゃないときは無理なのかい？

X: Watch what happens when we try to turn a figure eight into a circle. ... And here both the initial and final curve have turning number zero. Using this method, or others, you can always transform one curve into another with the same turning number. This is called the Whitney—Graustein theorem.
X: ８の形をしたカーブを円にしようとすると何が起きるかしら。…これは最初と最後の回転数が０のカーブよ。この方法とかを使うことで、常に同じ回転数を持つカーブ同士は変換できるの。これをWhitney—Grausteinの定理と言うわ

Y: And what does this have to do with the sphere?
Y: これって球と関係あるの？

X: A lot. Think of the sphere as a stack of circles, deformed into a barrel shape and closed off by caps above and below. Just as we made our curves more pliable by dividing them into guide segments connected by waves, we divide the barrel into guide strips that alternate with wavy strips. The waviness dies out at the top and bottom, so as to match the caps.
X: めっちゃ。球を円の集合体だと考えて、樽状に変化させて、上下にフタをするの。ガイド部分と波部分を分けることで柔軟にさせる。樽状の部分にガイド部と波部を交互に分ける。波は上下でフタをするように終わらせといてっと。

Y: Hmm, this is going to get complicated…
Y: ふーむ 複雑になってきたぞ…

X: Then, for now, let’s look at a single guide strip, along with the caps. Start by pushing the two caps past each other.
X: 一つのガイドとフタに注目して。まずフタを互いに押し込むの

Y: Before, when I pushed the poles through, it made a crease!
Y: 完全に入れ替わる前に折り目が出来ちゃうよ

X: Stop before the crease, when the guide has a loop in the middle. Now we turn the two caps in opposite directions, because we want to convert the loop in the middle to twisting at the ends.
X: 折り目が出来る寸前で止めると、ガイドが輪になるでしょ。次にフタを互いに逆方向に回す、これで真ん中のねじれは消えるわ。

Y: Oh I know – it’s like a belt! If you put a loop in the middle and pull the ends tight, the loop turns into twisting!
Y: ああ　ベルトみたいだ！　ベルトの真ん中に輪を作って両端を引っ張るとこうなるね！

X: Right. Then you can straighten out the belt by turning each end half a turn in opposite directions. To finish the eversion, we just need to push the middle of the guide strip back through the center of the sphere.
X: そうね。それで両端をそれぞれ半回転させると真っ直ぐになるわね。後はガイド部を反対側に球の中心を抜けるように押しておしまい

Y: Hmm. Can I see how two guide strips interact?
Y: ふーむ。ガイドが二つの場合も見せてくれる？

X: Sure. You can see that there are two places where the strips intersect near the central axis.
X: いいわ。中心軸付近の２点で交わっているのが分かるわね

Y: And the gold sides that started facing out are now facing in.
Y: そんで外側だった金色が内側になった

X: Here is the whole process with all the guides.
X: これがガイドすべての場合よ

Y: The polar caps just move up and down and then rotate into place. Ah, that’s why they don’t require any springiness.
Y: フタが上下入れ替わって所定位置で回転しただけだ。そうか　それでこの部分には柔軟性がいらないんだ

X: Exactly. Now let’s look at two guides and the corrugation between them, from a pole to the equator. This chunk is the fundamental building block of the eversion: the whole sphere is made from sixteen rotated copies of this piece.
X: その通り！ じゃあ２つのガイドとその間の波について、極から赤道までの範囲で見てみるわね。この一塊が裏返しの際の１ブロックよ。球全体はこのブロック１６個で出来ているわ

Y: That looks pretty complicated.
Y: ちょっと複雑だね

X: Yes, but the corrugation is just following the twisting of the guide strips that you saw before.
X: そうね、でも波のところはさっき見たガイドの動きに付いて行ってるだけよ。

Y: Can I see that from pole to pole?
Y: 両極間ので見せてくれない？

X: Yes. The corrugation provides flexibility between the guides so that their motion does not create any pinches or creases, just like the waves in the curve that we saw before.
X: ええ。波は抓りや折り目が出来ないようにガイド間を柔軟にしているの。さっきのカーブのときのようにね

Y: Let me see the whole thing!
Y: 全体を見せて！

X: We corrugate the connecting strips between the guides, and push the caps past each other. We twist the caps to undo the middle loops, and push the equator across the sphere. Finally, we uncorrugate.
X: ガイド間を波でつないで、フタをお互いに押し込む。輪を取るためフタを回転させて　赤道を球に押し込む。そして　裏返しっと。

Y: I still don’t understand. Is there some other way to look at this?
Y: まだ分かんないんだけど　他の見方ってないの？

X: OK, we’ll divide the sphere into thin horizontal ribbons. We’ll look at one ribbon at a time. You can see the north pole push down into the south. A ribbon near the pole is rather tame: the guide segments keep their position relative to one another, and the corrugations never get very deep.
X: 良いわ、球を水平方向のリボンに分けましょう。1本のリボンに注目するわ。北極部分が南に押し下げられているのが分かるわね。極付近はちょっと単調で、互いのガイドの位置関係を保ったまま　裏返しは難しくないわね。

Ribbons closer to the equator are wilder, so we’ll split the screen to see what’s going on. On the right, the camera tracks the ribbon from above, so its apparent size does not change. This overhead view highlights the symmetries that are hidden in the side view on the left, where we see the position of the ribbon in space.
赤道付近のリボンは難しいから、デュアルディスプレイで見せてあげる。右は上からの視点よ。サイズは変えてないわ。右は横からでは分からなかった対称性が目立つわね。左では空間中のリボンの位置が分かるわ。

At the equator, the ribbon just twists and doesn’t move up or down.
赤道ではリボンはねじれるだけで上下には動かないの。

Y: Wait a minute. This ribbon looks just like the wall under the monorail, and it’s turning inside out. You’d finally convinced me that that was impossible!
Y: 待って、このリボンはモノレールの下の壁に似てる、そして裏返ったぞ。さっき僕に不可能だって言ってたのに！

X: I’ll play that again. Remember that our walls represented circles and had to stay vertical. But here the ribbon can twist around in space, because it’s part of a sphere.
X: もう一度見てみるわよ。あの壁は円を表現しているから垂直じゃなきゃいけなかったのを覚えている？ でもこのリボンは空間中をねじれ回っているわ。だって球の一部だもん。

Another way to understand the eversion is to progressively build up the surface of the sphere at a few important stages. This is the corrugation phase… Now we’ve just pushed the caps through each other… This is the middle of the twisting phase: we can see the complex activity at the equator…
裏返しを理解する他の方法は、いくつかの重要なところで表面の形を徐々に表示することかしら。これは波を作るところ。フタを押し込むところ。これはねじっているところ。赤道付近の複雑な動きが分かるわね。

At the end of the twisting phase, the corrugations have nearly become figure eights… Here we’re in the middle of pushing horizontally through the center of the sphere… Finally, we show the uncorrugation phase. The sphere is now entirely purple.
ねじりの最後、波のところが８の字に近い形になっている。これは球の真ん中を水平に円の中心を通るように押しているところ。最後に、裏返されたところ。球は完全に紫ね。

Y: Wow. I think I’m ready to see the whole thing again.
Y: うほっ！ 今度こそ全体を見る準備ができたと思うよ

X: Here goes!
X: 行くわよ！

Y: You were right: you can turn a sphere inside out without poking holes or creasing it, even though you can’t do it for a circle. This is great—-somebody should make a movie about this stuff!
Y: 君は正しかったね。円は出来なくても、球に穴を開けたり折り目を付けなくても裏返せた。すごいや！　誰かこれを映画に使うべきだよ！

(fin)